NOŚNOŚĆ GRANICZNA KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH

Przedstawione poniżej zagadnienia są wypunktowaniem najważniejszych definicji i wzorów koniecznych do zrozumienia rozwiązywanych zadań. Nie należy ich traktować jako pełnego wykładu z omawianego zakresu materiału. Aby w pełni zrozumieć rozwiązywane tutaj przykłady należy osobiście uczestniczyć w zajęciach (wykłady, ćwiczenia projektowe i laboratoryjne).

1. WSTĘP

Zagadnienia przedstawiane w niniejszym rozdziale dotyczą konstrukcji prętowych wykonanych z materiałów, wykazujących przy rozciąganiu i ściskaniu, plastyczne właściwości. Są to materiały, w których przy wzroście obciążenia do pewnej charakterystycznej wartości, powstają trwałe odkształcenia. Takim materiałem jest na przykład stal miękka (większość gatunków stali konstrukcyjnych), będąca jednocześnie jednym z najbardziej powszechnych materiałów konstrukcyjnych. Na wykresie zależności (s - e) otrzymanym w statycznej próbie rozciągania stali miękkiej, mniej lub bardziej wyraźnie dają się zauważyć pewne charakterystyczne odcinki (zob. rys. 1), a mianowicie:

• odcinek OA: odkształcenia są liniowo zależne od naprężeń i znikają po odjęciu obciążenia, pręt pracuje w zakresie liniowo - sprężystym, który jest opisany równaniem Hooke'a;

• odcinek AB: zależność między odkształceniami i naprężeniami jest nieliniowa, ale pręt pracuje jeszcze w stanie sprężystym (po odjęciu obciążenia odkształcenia znikają);

• odcinek BC: koniec sprężystej pracy pręta, w którym zaczynają występować trwałe odkształcenia;

• odcinek CD: tzw. półka plastycznego płynięcia, odkształcenia wzrastają przy stałej sile;

• odcinek DE: plastyczne wzmocnienie materiału.

Charakterystyczne wielkości naprężeń pokazane na powyższym wykresie to:

• R_H - granica proporcjonalności, lub granica stosowalności prawa Hooke'a;

• R_s - granica sprężystości;

• R_e - granica plastyczności;

• R_m - wytrzymałość na rozciąganie.

Przedstawiony na rys. 1. wykres, pokazujący rzeczywiste zachowanie się materiału, w praktycznych zastosowaniach aproksymuje się wykresem przedstawionym na rys 2. Wykres ten przedstawia model ciała idealnie sprężysto - plastycznego, zwanego też ciałem Prandtla, które do granicy plastyczności R_e zachowuje się jak ciało idealnie sprężyste, a dalej jak ciało idealnie sztywno - plastyczne (odkształcenia rosną do nieskończoności, przy stałym obciążeniu). Jeżeli chcemy zaprojektować konstrukcję z materiału kruchego (stal twarda, żeliwo, beton) to zastosujemy do obliczeń model ciała idealnie sprężystego, a za wytrzymałość przyjmiemy granicę plastyczność R_e. Natomiast dla materiałów ciągliwych, dla których możemy w procesie projektowania dopuścić w przekroju częściowe lub całkowite uplastycznienie, zastosujemy model materiału idealnie sprężysto - plastycznego. Czasem o wyborze modelu nie decyduje materiał a rodzaj konstrukcji; na przykład norma mostowa nakazuje projektować przekroje prętów w stanie liniowo - sprężystym, podczas gdy norma ogólnobudowlana dopuszcza (przy spełnieniu szeregu założeń) uplastycznienie przekroju.

Zagadnienia poruszone w niniejszym rozdziale dotyczą konstrukcji prętowych wykonanych z materiałów, wykazujących plastyczne właściwości podczas zginania i rozciągania. Do dalszej analizy przyjęty będzie zatem model materiału Prandtla.

2. ZGINANIE POPRZECZNE BELEK Z MATERIAŁU WYKAZUJĄCEGO PLASTYCZNE WŁAŚCIWOŚCI

2.1. Założenia

Analizując postawione zadanie, akceptujemy wszystkie założenia przyjęte dla przypadku zginania poprzecznego, czyli:

• konstrukcja złożona z pręta pryzmatycznego, prostego, o przekroju poprzecznym symetrycznym względem osi z;

• pręt jest określony w układzie ( x, y, z ), którego oś x jest osią pręta, a osie y i z to główne centralne osie bezwładności;

• obciążenie przyłożone symetrycznie względem płaszczyzny xz na pobocznicy pręta i ściankach poprzecznych, oraz gęstości obciążenia ciągłego i wektory sił skupionych mają różną od zera tylko składową równoległą do osi z (nie ma rozciągania i ściskania);

• spełniona jest zasada płaskich przekrojów Bernoulliego;

• zależność (s - e) jak dla materiału idealnie sprężysto-plastycznego (materiał Prandtla).

Dodatkowo zakładamy pomijalnie mały wpływ sił poprzecznych na osiągnięcie stanu plastycznego, co oznacza ograniczenie się tylko do momentu zginającego M_y i związanego z nim naprężenia normalnego s_x.

 2.2.Analiza naprężeń w przekroju poprzecznym

W zależności od wartości działającego na przekrój belki momentu M_y mogą wystąpić następujące stany mechaniczne tego przekroju:
            I - stan sprężysty.
            II - stan graniczny sprężysty.
            III - stan sprężysto-plastyczny (częściowe uplastycznienie przekroju)
            IV - stan graniczny plastyczny (pełne uplastycznienie przekroju).

I. Stan sprężysty
Przy niewielkiej wartości momentu zginającego obowiązuje prawo Hooke'a, rozkład naprężeń normalnych jest liniowy, określony zależnością:

       
Oś obojętna pokrywa się z osią y, która jest równoległa do wektora działania momentu zginającego.

II. Stan graniczny sprężysty
Przy wzroście momentu zginającego naprężenia będą się zwiększać aż osiągną wartość R_e. Zgodnie z przyjętym modelem materiału, aż do tej wartości naprężenia panuje w materiale stan liniowo-sprężysty. Osiągnięcie wartości naprężenia R_e oznacza zatem granicę stanu sprężystego. Moment jaki przenosi przekrój w tym stanie nazywa się granicznym momentem sprężystym lub nośnością sprężystą przekroju. Momentu ten oznacza się pojedynczym nadkreśleniem i oblicza, przyrównując naprężenia s_x do granicy plastycznościR_e:

               
                , gdzie:            - wskaźnik wytrzymałości sprężystej

III. Stan sprężysto-plastyczny
Zwiększenie momentu zginającego ponad wartość nośności sprężystej nie powoduje już wzrostu naprężeń, granica plastyczności zostaje jednak osiągnięta w przekroju poniżej włókien skrajnych. Oznacza to uplastycznienie się tych włókien