PODSTAWY TEORETYCZNE

Przedstawione poniżej zagadnienia są wypunktowaniem najważniejszych definicji i wzorów koniecznych do zrozumienia rozwiązywanych zadań. Nie należy ich traktować jako pełnego wykładu z omawianego zakresu materiału. Aby w pełni zrozumieć rozwiązywane tutaj przykłady należy osobiście uczestniczyć w zajęciach (wykłady, ćwiczenia projektowe i laboratoryjne).

1. WSTĘP

Skręcanie prętów pryzmatycznych jest to takie obciążenie ścianek czołowych pręta, które redukuje się do pary sił, leżącej w płaszczyźnie równoległej do przekroju poprzecznego. Wektor działania takiej pary sił jest zatem równoległy do osi pręta. Wektor ten oznaczamy M_s i nazywamy momentem skręcającym.

Rys. 1

Dla dowolnego kształtu przekroju poprzecznego pręta, po przyłożeniu obciążenia momentem skręcającym pręt zdeformuje się. Wszystkie włókna równoległe do osi pręta przyjmą krzywoliniową postać, a przekrój poprzeczny dozna spaczenia. Pokazano to w uproszczeniu na rys. 1. analizując wybrane włókno należące do pobocznicy pręta. Punkt A po deformacji nie będzie leżał w tym samym przekroju, zajmie natomiast położenie A''. Punkt A' przedstawia rzut punktu A'' na płaszczyznę przekroju zawierającego punkt A. Kąt a pomiędzy promieniami wodzącymi punktów A i A' nazywamy kątem skręcenia pręta. Kąt ten jest liniowo zależny od współrzędnej x i obliczany z ogólnego wzoru:

           
            gdzie: q - jednostkowy kąt skręcenia.

Ogólne postaci tensorów naprężenia i odkształcenia dla prętów skręcanych są następujące:

Równania określające niezerowe elementy w powyższych tensorach zależą od kształtu przekroju poprzecznego pręta i od położenia punktu w przekroju. Najłatwiej je wyznaczyć dla przekrojów kołowych, przekroje prostokątne wymagają użycia bardziej zaawansowanego aparatu matematycznego a przekroje cienkościenne otwarte oblicza się z wykorzystaniem rozwiązań wyznaczonych dla przekroju prostokątnego.

 2. PRZEKROJE KOŁOWE

Przekroje kołowe, jako jedyne, nie doznają deplanacji przy skręcaniu. Punkt A'' pokrywa się w tym przypadku z punktem A'. 

Naprężenia styczne obliczamy z zależności:

                                   
                gdzie:  - biegunowy moment bezwładności,
                            r - współrzędna biegunowa punktu.

Rys. 2

Kierunek wektora naprężenia t jest prostopadły do promienia r czyli w punktach leżących na pobocznicy jest styczny do konturu przekroju poprzecznego. Rozkład naprężeń w przekroju jest liniowy, maksymalne naprężenia występują dla r = R , czyli na pobocznicy pręta. Zwrot naprężeń stycznych jest taki, że "kręcą" one względem środka ciężkości przekroju tak samo jak obciążający przekrój moment skręcający (rys. 2).

Jednostkowy kąt skręcenia q dla przekroju kołowego określa zależność:

           
            gdzie: G - moduł ścinania lub Kirchhoffa.

Wobec powyższego funkcja kąta skręcenia dla przekroju kołowego jest wyrażona następującą zależnością:

3. PRZEKROJE PROSTOKĄTNE

Przekroje prostokątne deplanują się przy skręcaniu, czyli przekrój płaski przed przyłożeniem obciążenia nie pozostaje taki po obciążeniu. Ścisłe rozwiązanie dla tego typu przekrojów wymaga użycia zaawansowanych metod matematycznych, które prowadzą do rozwiązania w postaci szeregów i funkcji hiperbolicznych. Celem ułatwienia obliczeń skręcanych prętów o przekroju prostokątnym, odpowiednie funkcje wchodzące do funkcji naprężeń i odkształceń zostały stabelaryzowane (zależą od stosunku boków w prostokącie), a analiza wytrzymałościowa została ograniczona do znajomości  rozkładu naprężeń w którym oblicza się tylko wartość maksymalną. Rozkład naprężeń pokazano na rys. 3.

Rys. 3

Maksymalna wartość naprężeń stycznych występuje w połowie dłuższego boku, w narożach naprężenia zerują się a po długościach boków są styczne do konturu przekroju poprzecznego. Zwrot naprężeń, tak jak dla przekroju kołowego jest taki, że "kręcą" one względem środka ciężkości przekroju tak samo jak obciążający przekrój moment skręcający.

Wartości największych naprężeń stycznych, jednostkowego kąta skręcenia i funkcję kąta skręcenia obliczamy z zależności:

               
Współczynniki a i b, występujące w powyższych wzorach, zależą od stosunku boków w prostokącie i są podane w tabeli poniżej. Przez h rozumiemy długość dłuższego boku w prostokącie.

4. PRZEKROJE ZŁOŻONE O PROFILU OTWARTYM

Przez przekroje złożone rozumiemy przekroje, które można podzielić na skończoną ilość prostokątów. Zakłada się przy tym, że moment skręcający przyłożony do całego przekroju jest sumą momentów skręcających każdy wydzielony prostokąt, oraz że jednostkowy kąt skręcenia całego przekroju jest taki sam we wszystkich prostokątach. Przy tych założeniach, korzystając ze wzorów wyprowadzonych dla przekroju prostokątnego, można wyprowadzić następujące zależności:

Naprężenia styczne policzone wg powyższego wzoru oznaczają maksymalne naprężenia w i-tym prostokącie (w połowie dłuższego boku i-tego prostokąta). Tak więc do wymiarowania przekroju wybieramy maksymalną wartość z policzonych dla wszystkich prostokątów. Należy zwrócić uwagę, że dla różnych podziałów przekroju na prostokąty, otrzymamy różne wartości maksymalnych naprężeń w przekroju. Projektując taki przekrój należy zatem obliczenia przeprowadzić dla wszystkich możliwych podziałów.

Dla przekrojów dla których h/b > 5 można przyjąć a = b i naprężenia liczyć ze wzoru:

               
Wtedy maksymalne naprężenie styczne występuje w tym prostokącie który ma największą grubość. Jeżeli zaś h/b > 10 (pręty cienkościenne) wtedy a =  b = 0.333 i dodatkowo można przyjać:

UWAGA: We wszystkich wzorach w punkcie 3 i 4 b oznacza krótszy bok prostokąta a h dłuższy bok.

5. WYMIAROWANIE PRĘTÓW SKRĘCANYCH

Wymiarowanie prętów skręcanych wykonujemy w oparciu o stan graniczny nośności i stan graniczny użytkowania. Stan graniczny nośności wymagam aby największe naprężenia styczne w przekroju były mniejsze od wytrzymałości na ścinanie R_t:

Stan graniczny użytkowania to warunek zapewniający brak przekroczenia pewnej dopuszczalnej wartości jednostkowego kąta skręcenia. Warunek ten jest najczęściej podyktowany względami technologicznymi (np. bezpieczna praca wału w maszynie).