Zadanie SK-3.  Wyznaczyć funkcję kąta skręcenia pręta o przekroju kołowym, obciążonego momentem skręcającym, przyłożonym w sposób ciągły.

Rozwiązanie

Obciążeniem pręta jest moment skręcający rozłożony równomiernie na jednostkę długości. Obciążenie takie jest z formalnego punktu widzenia identyczne z obciążeniem ciągłym znanym ze statyki płaskich ustrojów prętowych. W ten sam sposób liczymy wypadkową (pole powierzchni obciążenie) i tak samo określamy położenie wypadkowej (środek ciężkości pola obciążenia). Zatem reakcja w utwierdzeniu pręta będzie wynosić

               
Funkcja momentu skręcającego będzie w tym przypadku liniowa

               
Aby wyznaczyć równanie funkcji kąta skręcenia policzmy najpierw kąt skręcenia elementarnego odcinka dx położonego w odległości x od początku układu współrzędnych.

Kąt skręcenia odcinka dx wynosi:

               
Wobec tego całkowity kąt skręcenia na odcinku x policzymy całkując powyższą zależność:

               
Otrzymaliśmy zatem funkcję paraboliczną (funkcja kąta skręcenia zawsze jest o stopień wyższa od funkcji momentu skręcającego). Proszę zwrócić uwagę na fakt, że całka

                 
przedstawia pole powierzchni pod wykresem momentu skręcającego na odcinku 0 - x. Aby narysować wykres funkcji kąta skręcenia sprawdźmy, w którym punkcie osiąga ona ekstremum:

               
Widzimy zatem, że ekstremum wypada na końcu pręta. Z postaci funkcji a(x) wnosimy, że jest to maksimum.
Wykresy funkcji momentu skręcającego i kąta skręcenia przedstawione są poniżej.

Na podstawie powyższego można stwierdzić, że pomiędzy momentem skręcającym a funkcją kąta skręcenia istnieje związek różniczkowy analogiczny, jak między  siłą poprzeczną a momentem zginającym. Funkcja kąta skręcenia osiąga zatem ekstremum w miejscu zerowania się wykresu momentu skręcającego.