Przykład 1.  W układzie (x, y) w punkcie A dany jest tensor naprężenia

Przedstawić graficzny obraz tego tensora, oraz wyznaczyć jego współrzędne w nowym układzie współrzędnych, powstałym poprzez obrót układu (x, y) o kąt -60º.

1. Graficzny obraz tensora naprężenia
Pierwszy wiersz tensora naprężenia przedstawia współrzędne wektora naprężenia w punkcie A na płaszczyźnie prostopadłej do osi x układu współrzędnych (x, y). Zwrot wersora normalnego do tej płaszczyzny jest zgodny ze zwrotem osi x. W tym samym punkcie można sobie wyobrazić płaszczyznę prostopadłą do osi x, ale zorientowaną przeciwnie, tzn. wersor normalny do tej płaszczyzny ma przeciwny zwrot do osi x. Wektor naprężenia odpowiadający takiej płaszczyźnie będzie miał tą samą wartość, ten sam kierunek i przeciwny zwrot do wektora na płaszczyźnie dodatnio zorientowanej.

Podobnie przedstawia się sprawa z drugim wierszem tensora naprężenia; przedstawia on współrzędne wektora naprężenia w punkcie A na płaszczyźnie prostopadłej do osi y i o normalnej zgodnej ze zwrotem tej osi. Tutaj również można analizować płaszczyznę o wersorze normalnym przeciwnie skierowanym do osi y i wektorze naprężenia przeciwnym do wektora na płaszczyźnie dodatnio zorientowanej.

Graficzny obraz tensora naprężenia utworzymy, odsuwając myślowo od punktu A cztery, wymienione wyżej płaszczyzny, tworząc kwadrat o bokach równoległych do osi układu (x, y). Przyjmiemy przy tym konwencję znakowania składowych wektora naprężenia na poszczególnych ściankach w sposób następujący:

    Za dodatnie przyjmiemy te składowe wektora naprężenia, które mają:

• zwrot zgodny ze zwrotem osi, do której są równoległe, oraz zwrot normalnej zewnętrznej jest także zgodny ze zwrotem osi układu, do której ta normalna jest równoległa,

• lub jeśli zarówno składowa, jak i normalna mają zwroty przeciwne do odpowiednich osi, do których są równoległe.

Jest to tzw. reguła podwójnej zgodności. W każdym innym przypadku składowe wektora naprężenia przyjmiemy ze znakiem ujemnym.

Biorąc powyższe pod uwagę graficzny obraz podanego tensora naprężenia można przedstawić następująco:

2. Współrzędne tensora w nowym układzie współrzędnych
Szukane współrzędne tensora w nowym układzie znajdziemy wykorzystując prawo transformacji dla tensora drugiego rzędu (tensor dwuwskaźnikowy). Prawo to w zapisie macierzowym ma postać:

zaś w zapisie wskaźnikowym:

Macierz a, nazywana macierzą przejścia, określa obrót nowego układu współrzędnych względem układu wyjściowego (starego). Jej elementy wyznaczymy obliczając kosinusy kierunkowe nowego układu, obróconego o kąt -60º.

Zgodnie z przyjętą w trygonometrii konwencją znakowania kątów (dodatnie - przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) obrót układu współrzędnych przyjmiemy jak na rysunku poniżej:

Korzystając z powyższego rysunku obliczamy:

Stosując prawo transformacji obliczamy elementy tensora naprężenia w nowym układzie:

Korzystając z prawa transformacji w zapisie wskaźnikowym otrzymamy: