Przykład 4

Przykład 4 W układzie płaskim (Oxy) dana jest tarcza OAB, oraz związki I, II, III.

I. II. III.

Z powyższych związków wybrać te, które przedstawiają pole naprężeń dla tej tarczy (siły masowe pominąć), a następnie wyznaczyć:
    a) obciążenie brzegów tarczy,
    b) wektor naprężenia p_v w punkcie P(1.5, 2.3) przy przecięciu tarczy płaszczyzną o wektorze normalnym w=[2,1],
    c) składową styczną t i normalną s wektora naprężenia p_v obliczonego w punkcie b.

1. Sprawdzenie równań równowagi

Rzeczywiste pole naprężeń przedstawiają te funkcje, które spełniają równania równowagi.

Funkcje I

Funkcje II

Funkcje III

Zatem tylko funkcje III mogą być funkcjami naprężeń dla danej tarczy, dla tych więc funkcji wykonujemy dalsze obliczenia.

2. Odtworzenie obciążenia brzegów tarczy

Na każdym brzegu tarczy muszą być spełnione statyczne warunki brzegowe, które w zapisie wskaźnikowym mają postać:

                gdzie: s_ij - elementy pola naprężeń,
                          a_ij - współrzędne wersora normalnego do brzegu

brzeg OA

wersor normalny do brzegu: v = [0, -1]

Podstawiając do powyższych związków równanie brzegu x₂ = 0 otrzymamy:

Na podstawie powyższych funkcji można naszkicować obciążenie brzegu OA:

brzeg OB

wersor normalny do brzegu: v = [-1, 0]

Podstawiając do powyższych związków równanie brzegu x₁ = 0 otrzymamy:

brzeg AB

wersor normalny do brzegu: v = [3/5, 4/5]

Do powyższych związków podstawiamy równanie brzegu:

3. Wektor naprężenia

Wektor naprężenia w punkcie przy przecięciu ciała płaszczyzną o normalnej v obliczamy z równania:

Tensor naprężenia w punkcie P(1.5, 2.3) wyznaczamy, podstawiając współrzędne punktu do elementów pola naprężeń:

Wersor normalny płaszczyzny przecięcia:

Wektor naprężenia:

4. Rozkład wektora naprężenia

Rozkładając wektor naprężenia na kierunek prostopadły i równoległy do płaszczyzny przecięcia, otrzymujemy wektory naprężenia normalnego i stycznego. Wektory te oznaczany przez s i t.