Przykład 5

W kartezjańskim układzie współrzędnych (Oxy) dane są funkcje, określające wektorowe pole przemieszczeń, dla pewnej płaskiej tarczy.
Wyznaczyć wartości i kierunki główne odkształceń w punkcie P(1, 2) [m] oraz odkształcenie liniowe włókna, przechodzącego przez punkt P i równoległego do prostej l.

           

1. Wyznaczenie pola odkształceń

Pole odkształceń wyznaczamy z równań geometrycznych Cauchy'ego.

                   

2. Tensor odkształcenia w punkcie P

Współrzędne tensora odkształcenia w punkcie P(1, 2) wyznaczymy, podstawiając współrzędne tego punktu do funkcji określających pole odkształceń.

           

3. Wartości główne i kierunki główne odkształceń

           

           

Kierunki główne określone są przez następujące wersory:

           

4. Odkształcenie włókna równoległego do osi l

Odkształcenie liniowe włókna przechodzącego przez punkt P i równoległego do prostej l wyznaczymy, transformując tensor odkształcenia w punkcie P do nowego układu współrzędnych, w którym jedna z osi jest równoległa do tej prostej. Odpowiadający tej osi element z przekątnej głównej tensora odkształcenia w nowym układzie, jest poszukiwanym odkształceniem.

Kąt obrotu układu współrzędnych określa współczynnik kierunkowy prostej l:

               

Macierz przejścia do nowego układu:

               

Poszukiwane odkształcenie to element e'11 tensora odkształcenia w nowym układzie. Element ten wyznaczymy z prawa transformacji dla tensora drugiego rzędu:

               
               

© Mariusz Hebda