W punkcie P betonowej belki określono tensor naprężenia T_s.. Wyznaczyć ekstremalne odkształcenia liniowe w tym punkcie. Do obliczeń przyjąć moduł Young'a E = 30 GPa, współczynnik Poisson'a v = 0.2.

1. Wyznaczenie tensora odkształcenia w punkcie P

Do wyznaczenia elementów tensora odkształcenia wykorzystamy równania Hooke'a. Są to równania fizyczne, czyli równania podające zależności pomiędzy naprężeniami i odkształceniami.

Zwracamy uwagę na fakt, że płaskiemu tensorowi naprężenia w punkcie odpowiada antypłaski stan odkształcenia w tym punkcie.

2. Ekstremalne odkształcenia liniowe

Aby wyznaczyć ekstremalne odkształcenia liniowe, rozwiązujemy problem własny dla tensora odkształcenia w punkcie P. Zerowe odkształcenia kątowe w trzeciej kolumnie i trzecim wierszu oznaczają, że kierunek x₃ jest kierunkiem głównym, a wartość odkształcenia na przecięciu tego wiersz i tej kolumny jest wartością własną, czyli:

Pozostałe wartości własne obliczamy ze wzorów wyprowadzonych dla tensora płaskiego:

Ekstremalne odkształcenia liniowe w punkcie P belki wynoszą: