Zadanie SK- 1.  Wyznaczyć funkcję kąta skręcenia pręta o przekroju kołowym, obciążonego jak na rysunku. Przyjąć d = 6 cm, G = 80 GPa.

Rozwiązanie

Przed przystąpieniem do rozwiązania należy wyjaśnić symboliczne przedstawienie momentu skręcającego, w tym i we wszystkich zadaniach zamieszczonych w niniejszym rozdziale. Para sił, której reprezentantem jest wektor momentu skręcającego, została tutaj przedstawiona przez kółko z kropką w środku - siła skierowana do obserwatora i przez kółko z krzyżykiem oznaczające sił skierowaną do rysunku. Pamiętając o tym, że para sił i odpowiadający jej moment tworzą trójkę sił prawoskrętną, jednoznacznie mamy określony zwrot momentu skręcającego. Moment obciążający podaną belkę jest wobec tego zwrócony w prawą stronę.

Funkcję kąta skręcania określa równanie

               

z którego widać, że aby wyznaczyć funkcję kąta skręcenia musimy najpierw wyznaczyć równanie funkcji M_s(x), czyli funkcji momentu skręcającego. Analizowany pręt jest konstrukcją statycznie wyznaczalną, w której jedyna niewiadoma reakcja to moment skręcający M_A w utwierdzeniu.
Zwraca uwagę fakt, że w zasadzie mamy tutaj do czynienia z przypadkiem przestrzennym, gdyż obciążenie (para sił) działa w płaszczyźnie prostopadłej do osi pręta. Formalnie należy zatem przy liczeniu reakcji korzystać z sześciu równań statyki, z których wybieramy oczywiście tylko jedno:

               
Wykres momentu skręcającego przedstawiono na rysunku poniżej.

Przy znakowaniu momentów skręcających przyjmujemy konwencję znakowania analogiczną, jak dla siły podłużnej w pręcie (wektor momentu skręcającego M_s jest równoległy do wektora siły podłużnej N). Przyjmujemy zatem, że moment będzie dodatni wtedy, kiedy będzie miał zwrot zgodny z normalną zewnętrzną przekroju, w którym dokonujemy redukcji sił.

Tak więc funkcja kąta skręcenia w naszym zadaniu przybiera postać:

               
a po podstawieniu stałej G (pamiętamy o jednostkach !) i obliczeniu biegunowego momentu bezwładności I₀ :

Wykres tej funkcji przedstawiono poniżej

Warto zwrócić uwagę na fakt, że licząc kąt skręcenia w danym punkcie, liczymy tak naprawdę pole powierzchni pod wykresem momentu skręcającego, podzielone jedynie przez iloczyn modułu Kirchhoffa i biegunowego momentu bezwładności (iloczyn ten określa sztywność pręta na skręcanie). Podobnie względny kąt skręcenia pomiędzy dwoma punktami C i D będzie równy polu powierzchni pod wykresem momentu skręcającego na odcinku między tymi punktami  podzielony przez sztywność (rys. poniżej).

Powyższy wniosek można uogólnić na przypadki, w których funkcja kąta skręcenia jest wyższych rzędów (Zadanie SK-3).